Принятие решений по результатам определительных испытаний

Posted on by admin

Related Post

10.8.1. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения

Задача принятия решений по результатам определительных испыта­ний формулируется как задача проверки статистических гипотез, ко­торая тесно связана с интервальным оцениванием. Рассмотрим эту связь на примере проверки гипотезы о параметрах распределений.

Действительно, доверительным интервалом, в котором с веро­ятностью у находится неизвестное истинное значение математичес­кого ожидания М, является интервал М±image280, где квантиль к зависит от распределения оценки М и доверительной вероятности у.

Из выражения для доверительного интервала в соответствии с кри­терием значимости следует, что при нулевой гипотезе М = М3 допус­тимым интервалом значений оценки является интервал М3 ±к^йім]. Слишком большие значения оценки М > М3 +к^Б[м] позволяют при­нять гипотезу М> М3, а слишком маленькие М <М3 — ку1)[Й] — гипотезу М < М3. Ошибка первого рода составляет при этом а = 1 — у. Ошибка второго рода р может быть определена, если задана альтер­нативная гипотеза. Последнюю подбирают в каждом конкретном слу­чае в удобном для расчетов виде в зависимости от распределения оцен­ки М.

Зная ошибки первого и второго рода, можно рассчитать объем выборок, необходимый для обеспечения требуемых значений этих ошибок.

Проверка гипотезы о значении математического ожидания нор­мального распределения. Вид правил для проверки гипотезы о значе­нии математического ожидания нормального распределения зависит от наличия априорной информации о дисперсии.

1. Дисперсия о2 известна. Областью принятия нулевой гипотезы

Н0: М = М3 является область

image281

При z > М3+ U_af2oj4n принимается гипотеза М>М3, при

z < М3 — U_a/2^/-Jn — гипотеза М < М3. Используются также од­носторонние критерии:

• для гипотезы М > М3 z 2: М3 + U_aa/4n

• для гипотезы М < М3 z ^ М3-Ui_aa/^/n.

В этих случаях наиболее просто рассчитывается ошибка второго род а (рис. 10.1). Альтернативная гипотеза Щ задается в виде М = М3 + 5 (для М > М3) или М = М3-Ь (для М <М3), где S — расстояние между нулевой и альтернативной гипотезами.

При альтернативной гипотезе М = М3+Ь в соответствии с опре­делением ошибки второго рода

Р = P{z < М3 +U_ao/Jn / М = М3 + 5}.

image282

Отсюда с учетом распределения оценки z получим:

(ї-М3-5)/{о/Л) = и?.

Учитывая, что критическое значение определяется выражением (z — мз )/(о/7л) = их_а, имеем: где S/o — относительное расстояние между нулевой и альтернативной гипотезами, характеризующее точность статистического решения.

Такое же выражение получается, если рассмотреть альтернатив­ную гипотезу М = М3- 5. Полученное выражение (10.6) позволяет при заданных значениях а, р, 5/а априорно до проведения измерений рассчитать необходимый объем выборки п (табл. 10.11).

Случайные значения статистики | z-M3 |/(о/7л) могут оказать­ся как больше, так и меньше граничного значения Ux_a. Если

Z — М3 (g/уіп) > U_a, то принимается альтернативная гипотеза

М> М3, а если z — M3j(a/yfn} <-Ux_a — то гипотеза М < М3, при этом отношение 5/а будет больше, чем рассчитанное по формуле

z — M3/(p/Jn)<Ux_a

 

(10.6). Если

 

то величина 8/а будет меньше

 

 

‘-J

OO

 

Таблица 10.11

Объем выборки, необходимый для проверки гипотезы М = М3 при различных а, (3,5/а и известной дисперсии S2

8/о

а=

0,005

Р

II

о

о

а:

=0,025

а=0,05

Р =0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

и

20

15

13

10

6

18

13

11

9

5

16

11

9

7

4

13

9

7

6

3

1,2

17

13

11

9

5

15

11

9

7

4

13

9

8

6

3

11

8

6

5

2

1,3

15

11

9

7

4

13

10

8

6

4

11

8

7

5

3

10

7

5

4

2

1,4

13

9

8

б

4

11

8

7

6

3

10

7

6

4

2

8

6

5

4

2

1,5

11

8

7

6

3

19

7

б

5

3

9

6

5

4

2

7

5

4

3

2

1,6

10

7

6

5

3

9

7

5

4

3

8

5

5

3

2

7

5

4

3

2

1,7

9

7

б

4

3

8

6

5

4

2

7

5

4

3

2

6

4

3

3

1,8

8

6

5

4

2

7

5

4

3

2

6

4

4

3

2

5

4

3

2

1,9

7

5

5

4

2

6

5

4

3

2

5

4

3

3

2

5

3

3

2

2,0

6

5

4

3

2

6

4

4

3

2

5

4

3

2

4

3

3

2

2,1

6

4

4

3

2

5

4

3

3

2

4

3

3

2

4

3

2

2

2,2

5

4

3

3

2

5

4

3

2

2

4

3

3

2

4

3

2

2

2,3

5

4

3

3

2

4

3

3

2

2

4

3

2

2

3

2

2

2

2,4

5

3

2

2

2

4

3

3

2

4

3

2

2

3

2

2

2

2,5

4

3

3

2

2

4

3

2

2

3

2

2

2

3

2

2

3,0

3

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

3,5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4,0

2

2

2

2

 

 

табличного значения, требования к точности и достоверности реше­ния обеспечены и проведение дальнейших измерений излишне.

Таким образом, зависимость между объемом выборки, точнос­тью и достоверностью решения позволяют осуществить текущее пла­нирование последовательной процедуры принятия статистического решения.

2. Дисперсия а2 неизвестна и оценивается по той же выборке. Об­ластью принятия нулевой гипотезы является область

М3 — tx_aj2S/4п <z<M3 + h-ajl^/"’/л.

Подпись: 5 а image283,image284

При альтернативной гипотезе М = М3+ 8 случайная величина (z-M3-5)/(іУ0/sfn) имеет /-распределение Стьюдентас (л-1) сте­пенями свободы, а случайная величина {z — M3)/(S0/-Jn) — нецент­ральное /-распределение Стьюдента с параметром нецентральности Тлб/сг. Используя нормальную аппроксимацию нецентрального /-рас­пределения (л > 10), получим:

В табл. 10.12 приведен объем выборки в зависимости от 8/с при различных значениях а и р. Как следует из таблицы необходимый объем выборки в этом случае несколько больше, чем при извест­ной о2.

Полученные решающие правила можно получить также с исполь­зованием критерия максимального правдоподобия.

3. Построение критерия максимального правдоподобия для провер­ки гипотезы Щ: М = М3 против альтернативной гипотезы Н.

М = М3 + Ь (а2 известно).

Отношение правдоподобия Щ и Щ

£(ъ-М3-8)2

М_____________

2а2

І(ь-м3?

_/=1___________

2а2

 

9

 

image286

Таблица 10.12

 

L/1

OO

О

 
Принятие решений по результатам определительных испытаний

5/о

а

= 0,005

а = 0,01

а

= 0,025

а = 0,05

Р= 0,01

0,05

0,1

0,2

0,01

0,05

0,1

0,2

0,01

0,05

0,1

0,2

0,01

0,05

0,1

0,2

и

24

19

16

14

21

16

14

12

18

13

11

9

15

11

9

5

1,2

21

16

14

12

18

14

12

10

15

12

10

8

13

10

8

1,3

18

15

13

11

16

13

11

9

14

10

9

7

11

8

7

1,4

16

13

12

10

14

11

10

9

12

9

8

7

10

8

7

1,5

15

12

11

9

13

10

9

8

11

8

7

6

9

7

6

1,6

13

11

10

8

12

10

9

7

10

8

7

6

8

6

6

1,7

12

10

9

8

11

9

8

7

9

7

6

5

8

6

5

1,8

12

10

9

8

10

8

7

7

8

7

6

7

6

1,9

11

9

8

7

10

8

7

6

8

6

6

7

5

2,0

10

8

8

7

9

7

7

6

7

6

5

6

2,1

10

8

7

7

8

7

6

6

7

6

6

2,2

9

8

7

6

8

7

6

5

7

6

6

2,3

9

7

7

6

8

6

6

6

5

5

2,4

8

7

7

6

7

6

6

6

2,5

8

7

6

6

7

6

6

6

3,0

7

6

6

5

6

5

5

5

3,5

6

5

5

5

4,0

6

 

 

Подпись: откуда In L > In К,І Г (Zi — M3f — {Zi — M3 — 8)21 > 2a2 In К

i=lL J

или

 

2£ъ-п(2М3+8)

 

> 2c2 In K.

 

S

 

i-1

 

 

Принятие решений по результатам определительных испытаний

Подпись: n[2z - 2M3 - 8] > Подпись: или z > k'.
image287

Таким образом:

Необходимо выбрать такое значение К’, чтобы P{z > К’/Н0} = а. Поскольку при справедливости гипотезы Н0 z ~ N(M3,o2/п), то

(К’-M3)/(o/Jn) = U_a, откуда К’ = М3 +Ul_ao/>Jn.

В результате проведенных выкладок получаем решающее прави­ло для принятия решения М = М3+Ь: z > М3+ Uy_aol-Jn, такое же, как и при использовании критерия значимости.

Построенный критерий является наиболее мощным по отноше­нию к заданной простой гипотезе Щ. Так как определенная крити­ческая область не зависит от 8, то данный критерий будет наиболее мощным при произвольном выборе альтернативной гипотезы.


Похожие записи: